ЕГЭ - Демоверсия 2017 №23
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x 1 , x 2 , ... x 6 , y 1 , y 2 , ... y 6 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x 1 → (x 2 /\ y 1 )) /\ (y 1 → y 2 ) = 1
(x 2 → (x 3 /\ y 2 )) /\ (y 2 → y 3 ) = 1
...
(x 5 → (x 6 /\ y 5 )) /\ (y 5 → y 6 ) = 1
x 6 → y 6 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , ... x 6 , y 1 , y 2 , ... y 6 , при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Ответ: ___________________________.
Решение:
При логической операции конъюнкции 1 будет только когда все составляющие равны 1.
Рассмотрим каждую скобку отдельно.
(x 1 → (x 2 /\ y 1 )) = 1
В результате операции импликации 0 может получиться только когда: условие = 1, а следствие = 0 (1 → 0 = 0).
Сначала разберём зависимость между переменными х.
Для выполнения условий нельзя чтобы х1 = 1, а х2 = 0. Аналогично, если х1=1, х2=1, то нельзя чтобы х3=0 и т. д.
Если же х1 = 0, а х2 = 1, от х3 должно быть = 1, иначе условие не будет выполняться. Исходя из этого запишем все возможные варианты для переменной х.
|
х1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
х2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
х3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
х4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
х5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
х6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
х7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Теперь рассмотрим вторую скобку (y 1 → y 2) = 1. Для неё получим аналогичный набор значений:
|
y1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
y2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
y3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
y4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
y5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
y6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
y7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Совместим обе таблицы, отбирая подходящие варианты, т. е. определим сколько столбцов из второй таблицы подходит для каждого столбца первой.
Для первого столбца таблицы №1 подойдёт только первый столбец таблицы №2.
(1 → (1 /\ 1 )) /\ (1 → 1 ) = 1
начиная со второго столбца перестанет выполняться условия:
(1 → (1 /\ 0 )) /\ (0 → 1 ) = 0 и т.д.
Для второго столбца таблицы №1 подойдут первые два столбца таблицы №2.
(1 → (1 /\ 1 )) /\ (1 → 1 ) = 1
(0 → (1 /\ 0 )) /\ (0 → 1 ) = 1
начиная с третьего столбца перестанет выполняться условия:
(x2 → (x3 /\ y2 )) /\ (y2 → y3 ) = 0 и т. д.
Для следующих столбцов кол-во подходящих вариантов будет увеличиваться каждый раз на 1.
Получим:
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
|
Кол-во вариантов y1-y7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Всего получим 28 вариантовy1
Ответ: 28