ЕГЭ - Демоверсия 2018 №23

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1 , x2 , ...x7 , y1, y2 , ...y7 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(¬x 1 \/ y 1 ) → (¬x 2 /\ y 2 ) = 1

(¬x 2 \/ y 2 ) → (¬x 3 /\ y 3 ) = 1

...

(¬x 6 \/ y 6 ) → (¬x 7 /\ y 7 ) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , ...x 7 , y 1 , y 2 , ...y 7 , при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

При операции импликации ложь возможно только в случае 1 → 0 = 0

Рассмотрим возможные варианты для первого выражения (¬x 1 \/ y 1 ) → (¬x 2 /\ y 2 ) = 1:

Рассмотрим возможные варианты для всех выражений:

Варианты для x1, y1 и x2, y2 рассмотрены в предыдущей таблице.

Начнём рассматривать варианты для x3, y3 ((¬x 2 \/ y 2 ) → (¬x 3 /\ y 3 ) = 1):

• x3 = 0, y3 = 0: для x2 и y2 возможен только 1 вариант x2 = 1, y2 = 0;

• x3 = 0, y3 = 1: для x2 и y2 возможны все 4 варианта;

• x3 = 1, y3 = 0: для x2 и y2 возможен только 1 вариант x2 = 1, y2 = 0;

• x3 = 1, y3 = 1: для x2 и y2 возможен только 1 вариант x2 = 1, y2 = 0;

получаем для столбца x3 y3 — 1+4+1+1 = 7 вариантов.

Варианты для x4, y4 ((¬x 3 \/ y 3 ) → (¬x 4 /\ y 4 ) = 1):

• x4 = 0, y4 = 0: для x3 и y3 возможен только 1 вариант x3 = 1, y3 = 0;

• x4 = 0, y4 = 1: для x3 и y3 возможны все 7 вариантов;

• x4 = 1, y4 = 0: для x3 и y3 возможен только 1 вариант x3 = 1, y3 = 0;

• x4 = 1, y4 = 1: для x3 и y3 возможен только 1 вариант x3 = 1, y3 = 0;

получаем для столбца x4 y4 — 1+7+1+1 = 10 вариантов.

Варианты для остальных столбцов находятся аналогично. Все варианты представлены в таблице ниже:

Всего получится 22 варианта

Ответ: 22