ЕГЭ - Демоверсия 2018 №18

Для какого наибольшего целого числа А формула ((x ≤ 9) →(x⋅x ≤ A)) ⋀ ((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решение:

В формуле имеется операция ^ - конъюнкция (логическое умножение), при нём в результате получится истинна если только все выражения будут истинными.

((x ≤ 9) →(x⋅x ≤ A)) = 1

((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9)) = 1

Рассмотрим скобки раздельно, избавимся от → - импликации (логическое следование).

A→B = AvB => (x > 9) v (x² ≤ A) между скобками получилась операция дизъюнкция (логическая сумма), при данной операции истинна будет, если хотя бы одно из выражений истинно. При x>9 [(x > 9) v (x² ≤ A)] – уже будет истинным, но при x [0; 9] (диапазон от 0 потому что в условии сказано: при любых целых неотрицательных x и y) выражение в первой скобки станет ложным и возникает необходимость проверки выражения во второй (x² ≤ A). В этой ситуации от ложного результата и должна спасти переменная А.

Значит чтобы (x² ≤ A)=1 => А>= x² (x ≤ 9) => A>=81.

Аналогично рассмотрим вторую часть выражения ((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9)) = 1

(y²>=A) v (y ≤ 9)=1

y [10;+∞) => y² > A => A<100

т. е. 81 ≤ A < 100

По условию задачи надо найти максимальное А => A = 99

Ответ: 99

Решение попробую объяснить на следующем примере:

(x^53≠0)=>((x^41=0)=>(x^A≠0)). Как обычно надо найти наименьшее значение А для истинности данного выражения.

Избавляемся от импликации (хоть с помощью переменных или без них):

(x^53≠0) v (x^41≠0 v x^A≠0);

(x^53=0) v (x^41≠0) v (x^A≠0).

Из полученного выражения становится ясно, что для истинности выражения достаточно истинности всего лишь одной из скобок, т.е. если будет такой х что, хотя бы первая или вторая скобка (скобки с конъюнкцией х на числа) истинна, то не важно каким будет число А.

Но, т.к. нам надо найти именного его, предположим, что скобки без А ложны, а скобка с А обязательно истинна, тогда получаем:

(x^53=0) v (x^41≠0) = 0;              (x^A≠0) = 1

Для ложности первых двух скобок надо чтобы они обе были ложными т.е.:

x^53 ≠ 0;             x^41 = 0

Представим число 53 в двоичной системе счисления и найдем значение x при котором скобка будет истинной:

53₁₀ - 110101₂

X₁₀ -   11x1x1₂  , т.е после поразрядной конъюнкции скобка будет истинной.

Представим число 41 в двоичной системе счисления и найдем значение x при котором скобка будет ложной:

41₁₀ - 101001₂

X₁₀ -   0х0хx0₂  , т.е после поразрядной конъюнкции скобка будет ложной0.

Сопоставим полученные числа:

11х1х1

0х0хх0

0 и 1 или 0 и х даст – 0; х и х – даст х; 1 и х – даст 1.

Соответственно получим следующее число: 0101х0, т.е. таковым и должно быть число А, но т.к. нам надо найти наименьшее, вместо х проставляем 0 и переводим полученное число в десятичную систему счисления: 010100 = 20

Ответ: 20.